科学计算器与复数：i² 等于多少

一、运算优先级：括号 > 函数 > 乘方 > 乘除 > 加减

工具的求值顺序与数学课本一致，但有两处容易踩的细节：

算式	结果	说明
2 + 3 × 4	14	乘法先算，不是 20
(2 + 3) × 4	20	括号优先
2^3^2	512	乘方右结合：3^2 = 9 先算，2^9 = 512
−2^2	−4	一元负号优先级低于乘方：先算 2² = 4，再加负号

这两条是「计算器和自己想的不一样」的常见原因：

• 2^3^2：左结合会得到 64（2³=8，8²=64），右结合是 512，差 8 倍；
• −2^2：多数人心里读成「负二的平方」= 4，但数学约定是「2 的平方再取负」= −4。要表达前者必须写 (−2)^2。

二、省写规则：乘号能省

工具支持数学书写的省略形式：

写法	等价于	结果
2π	2 × π	6.28318530718
2(3+4)	2 × (3+4)	14
3sin(30)	3 × sin(30°)	1.5

默认按 DEG（度）计算，所以 sin(30) 得到 0.5 而不是 −0.988。要按弧度算得显式切到 RAD——sin(30) 在 RAD 下是 sin(30 弧度) ≈ −0.988，同一个输入结果完全不同。

三、支持的函数与常量

类别	函数
三角	sin、cos、tan、asin、acos、atan
双曲	sinh、cosh、tanh
指数对数	ln、log、lg、log2、exp、sqrt、cbrt
取整	floor、ceil、round、abs、sign
其他	fact（阶乘）、后缀 !

常量三个：π = 3.141592653589793、e = 2.718281828459045、τ = 6.283185307179586（τ = 2π）。

实测几例：sqrt(16) = 4、5! = 120、ln(e) = 1、log(1000) = 3、round(2.567) = 3、10/4 = 2.5。

顺带说个精度处理：log(1000) 在浮点里的原始结果是 2.9999999999999996，工具会清理成 3 显示——所有浮点计算器都要做这件事，否则你会看到一堆 0.9999999。

四、复数：i² = −1 是定义

虚数单位 i 的定义就是「−1 的一个平方根」：

i² = −1

由此可推出 i 的幂四步一循环：

幂	i¹	i²	i³	i⁴	i⁵
值	i	−1	−i	1	i（循环）

所以任意高次幂先对 4 取余再查表：i²⁰²⁷ 就是 i³ = −i（2027 ÷ 4 余 3）。

五、复数的四则运算

把复数写成 a + bi，四则运算按普通代数展开，只是遇到 i² 就换成 −1：

运算	例子	结果
加法	(3+4i) + (1−2i)	4 + 2i
乘法	(3+4i)(1−2i)	11 − 2i
除法	(3+4i) ÷ (1−2i)	−1 + 2i

乘法展开过程：3×1 + 3×(−2i) + 4i×1 + 4i×(−2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i ✓（最后一步用了 i² = −1）

除法的技巧是「上下同乘分母的共轭」：

分母 1−2i 的共轭是 1+2i
分母 × 共轭 = 1² + 2² = 5（虚部消失了）
分子 (3+4i)(1+2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i
结果 = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i

为什么乘共轭能去虚部：(a+bi)(a−bi) = a² + b²，这是个实数。这一步是复数除法的固定套路。

六、模、共轭与极坐标

工具对每个结果都给出这几个派生量：

概念	定义	例（4+2i）
模	√(a² + b²)，复平面上到原点的距离	4.47214
共轭	虚部取反	4 − 2i
倒数	1 ÷ 复数	1/5 − 1/10 i
辐角	与正实轴的夹角	26.5651°（0.4636 rad）
极坐标	模 ∠ 辐角	4.47214 ∠ 26.5651°

模和绝对值的关系：对实数两者数值一致；对复数只能说模。|3+4i| = √(9+16) = 5、|11−2i| = √125 ≈ 11.1803——模恒为非负实数。

七、直接算

→ 科学计算器：函数、常量、括号与阶乘，DEG/RAD 可切

→ 复数计算器：四则运算与模、共轭、极坐标

→ 三角函数计算器：sin、cos、tan 与反三角函数