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复数计算器

输入两个复数的实部与虚部并选择运算，得到结果、模、辐角、共轭、倒数与极坐标形式；实部虚部以分数精确给出，同时附小数形式。

复数让「负数也能开平方」成为可能，电路交流分析、信号处理、量子力学都靠它；但手算四则常常在除法分母和辐角象限上栽跟头。两个复数的实部虚部填进来，运算结果连同模、辐角、共轭与极坐标写法一起给出，分数与小数并排，作业对答案很方便。

几个约定先交代：辐角取 (−π, π] 主值区间（第三象限的角是负的，不是「少了个 π」）；除法按分母实数化展开；模与辐角用 atan2 求出，象限不会丢。实部虚部给分数精确值，√3 这类无理数保持根式，避免小数累积误差；算 i 的高次幂时记得按 4 循环（i⁴ = 1）。

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使用步骤

  1. 填两个复数的实部与虚部，选运算（加减乘除）。
  2. 看结果：代数形式、模、辐角、共轭、倒数。
  3. 看极坐标形式：r∠θ，辐角为主值（−π, π]。
  4. 复制结果；分数形式用于精确验算，小数用于工程估算。

计算原理与示例

复数四则运算怎么算

加减看分量，乘除靠公式。加减是把实部与实部分别运算：(3+4i) + (1−2i) = 4 + 2i。乘法展开 (a+bᵢ)(c+dᵢ) = (ac−bd) + (ad+bc)ᵢ，其中 bd 项因 i² = −1 要变号：(3+4i)(2−i) = 6 −3i +8i −4i² = 10 + 5i。除法上下同乘分母的共轭，分母就变成实数 c²+d²：(1+i) ÷ (1−i) = (1+i)(1+i) ÷ 2 = i。

模与辐角：复数的两种几何量

模 |z| = √(a²+b²) 是这点到原点的距离，|3+4i| = 5；辐角 arg(z) 是从正实轴逆时针转到该点的角度，3+4i 约 53.13°、i 是 90°、−1 是 180°、1−i 是 −45°。写成极坐标 z = |z| ∠ θ 后，乘法只需模相乘、角相加，除法模相除、角相减——交流电路与信号处理几乎都用这种形式。

为什么结果用分数写

本工具把实部虚部当分数处理，全过程用 BigInt 整数运算，所以 (1/2 + 1/3 i) + (1/6 + 1/6 i) 精确得到 2/3 + 1/2 i，而不是 0.6666… 这类近似值；系数是分数时统一写成「1/2 i」并留一个空格，避免被误读成 1 ÷ (2i)。需要十进制时看「实部（小数）」「虚部（小数）」两行。

计算依据：复数四则按 (a+bᵢ)(c+dᵢ) = (ac−bd) + (ad+bc)ᵢ 展开，除法上下同乘分母共轭；模 |z| = √(a²+b²)，辐角取 atan2(b, a) 的主值区间 (−180°, 180°]；实部虚部以 BigInt 有理数精确运算（结果保留分数形式），十进制仅作展示。

代码示例

JavaScript 复数四则与极坐标 

class Cx {
  constructor(re, im) { this.re = re; this.im = im; }
  add(o) { return new Cx(this.re + o.re, this.im + o.im); }
  mul(o) { return new Cx(this.re * o.re - this.im * o.im,
                         this.re * o.im + this.im * o.re); }
  abs() { return Math.hypot(this.re, this.im); }
  arg() { return Math.atan2(this.im, this.re); }   // 主值 (−π, π]
}

new Cx(3, 4).abs();   // 5

Python complex 内置类型 

z = complex(3, 4)

abs(z)            # 5.0（模）
z.real, z.imag    # (3.0, 4.0)
z.conjugate()     # (3-4j)

import cmath
cmath.phase(z)    # 0.9273（辐角主值）
cmath.polar(z)    # (5.0, 0.9273)（极坐标）

常见问题

复数的除法怎么算？

上下同乘分母的共轭。以 (3+4i) ÷ (1−2i) 为例：分母共轭是 1+2i，同乘后分母变成 1²+2² = 5，分子 (3+4i)(1+2i) = 3+6i+4i+8i² = −5+10i，所以结果是 −1 + 2i。

i 的平方为什么等于 −1？

这是虚数单位的定义：i 是 −1 的一个平方根，用它就能把 x² = −1 这类方程解出来。由此可推出 i 的幂四步一循环：i¹=i、i²=−1、i³=−i、i⁴=1，任意高次幂先对 4 取余再查表即可（本页表格已列出）。

复数的模和绝对值有什么区别？

对实数来说两者数值一致；对复数只能说模。模 |a+bᵢ| = √(a²+b²) 是复平面上该点到原点的距离，恒为非负实数：|3+4i| = 5、|10+5i| = √125 ≈ 11.1803。

辐角为什么有正有负？

辐角从正实轴逆时针量起，逆时针为正、顺时针为负。1−i 的辐角是 −45°（也常写作 315°），−3−4i 是 −126.87°（或 233.13°）。本工具统一给出 (−180°, 180°] 区间上的主值，避免多值混淆。

结果里的 1/2 + 1/2 i 是什么写法？

那是分数形式的实部与虚部：实部 1/2、虚部 1/2，即 0.5 + 0.5i。保留分数是因为它精确——1/3 化成小数只能近似；需要十进制时看统计面板里的「实部（小数）」「虚部（小数）」。

复数的倒数怎么求？

1/z = 共轭(z) ÷ |z|²。以 3+4i 为例：模的平方是 25，共轭是 3−4i，所以倒数是 3/25 − 4/25 i。注意 0 + 0i 没有倒数，本工具会显示提示而不是给出错误结果。

极坐标形式有什么用？

把复数写成 z = |z| ∠ θ 后，乘法变成「模相乘、角相加」，除法变成「模相除、角相减」，比直角坐标形式直观得多。交流电路的阻抗计算、信号处理的相位分析都基于这一点，所以本工具在结果里直接给出模与辐角。

只想知道某个复数的模和辐角，怎么用？

把第二个复数填成 1 + 0i 并选「加」，结果就等于第一个复数本身，此时统计面板里的模、辐角、共轭、倒数就是它的几何信息。这也是查单个数几何量的最快用法。

延伸阅读

来自本站原创文章，讲清这个工具背后的算法与口径。