三角函数怎么算？弧度与角度的换算

一、特殊角的心算表

角度	弧度	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	0.5	√3/2 ≈ 0.866	1/√3 ≈ 0.577
45°	π/4	√2/2 ≈ 0.707	0.707	1
60°	π/3	√3/2 ≈ 0.866	0.5	√3 ≈ 1.732
90°	π/2	1	0	不存在
180°	π	0	−1	0

实测几个：sin30° = 0.5、cos60° = 0.5、tan45° = 1、sin180° = 0、cos90° = 0。

两个必须理解的「不存在与 0」：

• tan90° 算不出来：因为 tan = sin ÷ cos，而 cos90° = 0，分母为零。工具报「超出定义域」，而不是给一个巨大的错误数值；
• sin180° 是干净的 0：计算机内部用弧度近似计算，180° 的弧度值本身有微小误差。工具对绝对值小于 10⁻¹² 的结果直接归零，所以显示 0 而不是 1.2e−16 这种噪声。

二、弧度与角度：只差一个换算系数

1 rad = 180°/π ≈ 57.29577951308232°
1° = π/180 rad ≈ 0.017453292519943295 rad

换算	结果
180° → rad	π = 3.141592653589793
30° → rad	0.5235987755982988
1 rad → deg	57.29577951308232°
1 turn（整圈）→ deg	360°
90° → gon（百分度）	100

为什么要有弧度：角度是人为定的（把圆分成 360 份），弧度是定义出来的——弧长等于半径时的圆心角就是 1 弧度。所以涉及 π 的推导（微积分、物理公式）必须用弧度，sin x ≈ x 这类近似只在弧度下成立。

工具支持四种角度单位：deg（度）、rad（弧度）、gon（百分度，90° = 100gon）、turn（整圈）。

三、反三角函数：同一个数值，两种答案

asin(0.5) 是问「哪个角的正弦是 0.5」，答案是 30°——但取决于单位设置：

单位设置	asin(0.5)
DEG（度）	30
RAD（弧度）	0.523598775598

30 与 0.5236 是同一个角，换算过来完全一致。这是工程里最常见的错误来源：Excel、MATLAB、Python 的数学库默认用弧度，手机计算器和本题工具默认用度——看到结果对不上，先检查单位。

工具在 DEG/RAD 之间切换会同时影响正三角与反三角，避免出现「输入用度、输出用弧度」的混搭。

四、非特殊角与时区…不，是小数角与负角

• 小数角度可以算：sin(12.5°) ≈ 0.2164；
• 负角度可以算：sin(−30°) = −0.5（正弦是奇函数，符号跟着翻）；
• 结果精度：工具给出 15 位左右的有效数字，实际工程报数一般保留 4~6 位就够。

顺带一个直觉校验法：sin 和 cos 的绝对值永远不超过 1。如果算出来 1.5，那一定是单位设错了（或者把 tan 当成了 sin）。

五、这几个公式值得记住

sin²θ + cos²θ = 1          （勾股定理的三角形式）
tanθ = sinθ / cosθ
sin(−θ) = −sinθ，cos(−θ) = cosθ

第一条最有用：知道了 sinθ 就能推出 |cosθ|。也解释了为什么 cos90° = 0 时 tan90° 会爆掉——分母为零。

六、直接算

→ 三角函数计算器：正三角与反三角，DEG/RAD 一键切换

→ 角度换算器：度、弧度、百分度、整圈四种单位互转

→ 科学计算器：三角函数、对数、阶乘与括号混合运算