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一元二次方程求解器

输入 a、b、c 三个系数，得到判别式、两个精确根（有理根或化简根式、必要时给出共轭复根）与近似值，并列出韦达定理与抛物线顶点坐标。

一元二次方程人人会背求根公式，但手算常卡在两处：根号下的数开不干净、判别式小于零之后怎么办。这里把三个系数一填，先告诉你根的形态，再给精确形式（该化简的根式化到最简）和小数近似，韦达定理和顶点坐标附在旁边，验算讲题都用得上。

判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的形态：Δ > 0 两个不等实根、Δ = 0 重根、Δ < 0 共轭复根——本工具三种情况都处理；韦达定理（x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a）用于验算；顶点 (−b/2a, (4ac−b²)/4a) 画抛物线时用。

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使用步骤

  1. 输入 a、b、c 三个系数（a 不能为 0）。
  2. 看判别式 Δ 与根的形态（实根 / 重根 / 复根）。
  3. 看精确根（分数或根式）与近似值对照。
  4. 看韦达定理与顶点坐标，验算或画图用。

计算原理与示例

判别式决定根的性质

判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的情况：Δ > 0 有两个不等实根，Δ = 0 有两个相等实根（重根），Δ < 0 在实数范围内无解、对应一对共轭复根。求根公式是 x = (−b ± √Δ) / 2a，这也是配方法的一般化结果。

精确形式与根式化简

精确形式比小数更有价值。整数系数时工具会把根式化简：x² − 2x − 4 = 0 的 Δ = 20，√20 = 2√5，代入后约去公因子得到 x = 1 ± √5（≈ 3.236068、−1.236068）。根式化简的规则是把根号内的完全平方因数提到根号外（20 = 4 × 5）。系数含小数时无法保持可读的根式形式，工具会退回小数近似（6 位有效数字）。

韦达定理与抛物线顶点

韦达定理给出根与系数的直接关系：x₁ + x₂ = −b/a，x₁ · x₂ = c/a。不用解方程就能判断两根之和、之积与符号，常用于「已知一根求另一根」或参数题。抛物线顶点 (−b/2a, c − b²/4a) 则是函数的最值点：x² − 3x + 2 的顶点在 (1.5, −0.25)，开口向上故为最小值。

计算依据：判别式 Δ = b² − 4ac 与求根公式 x = (−b ± √Δ)/2a；整数系数时对 Δ 做根式化简（提取完全平方因数）并约去公因子给出精确解，非整数系数给出 6 位有效数字的近似值；韦达定理 x₁ + x₂ = −b/a、x₁ · x₂ = c/a。

代码示例

JavaScript 判别式三分支 

function solve(a, b, c) {
  const d = b * b - 4 * a * c;          // 判别式
  if (d < 0) {
    const re = -b / (2 * a), im = Math.sqrt(-d) / (2 * a);
    return { type: "complex", roots: [re + "+" + im + "i", re + "-" + im + "i"] };
  }
  if (d === 0) return { type: "double", roots: [-b / (2 * a)] };
  const r = Math.sqrt(d);
  return { type: "real", roots: [(-b + r) / (2 * a), (-b - r) / (2 * a)] };
}

solve(1, -3, 2);   // { type: "real", roots: [2, 1] }

Python cmath 处理复根 

import cmath, math

def solve(a, b, c):
    d = b * b - 4 * a * c
    if d >= 0:
        r = math.sqrt(d)
        return ((-b + r) / (2 * a), (-b - r) / (2 * a))
    r = cmath.sqrt(d)                    # 复根
    return ((-b + r) / (2 * a), (-b - r) / (2 * a))

solve(1, -3, 2)    # (2.0, 1.0)
solve(1, 0, 1)     # 复根 ±i

常见问题

判别式小于 0 为什么没有实根？

求根公式里要对 Δ 开平方，而实数范围内负数不能开平方。此时两根是一对共轭复数（形如 a ± bi），本工具会给出这种形式，例如 x² + 2x + 5 = 0 的根是 −1 ± 2i。

√20 为什么要写成 2√5？

把根号内的完全平方因数提出来：20 = 4 × 5，所以 √20 = √4 · √5 = 2√5。化简后便于与其它根式合并，也便于估算（2√5 ≈ 4.472）。

韦达定理是干什么用的？

它给出 x₁ + x₂ = −b/a、x₁ · x₂ = c/a，不解方程就能知道两根的和与积，常用于已知一根求另一根、判断两根同号还是异号，以及构造以两数为根的方程。

系数 a 能等于 0 吗？

不能。a = 0 时方程退化为一次方程 bx + c = 0，只有一个根 −c/b（b 也不为 0）；本工具会提示这已不是二次方程。

抛物线顶点坐标有什么意义？

顶点 (−b/2a, c − b²/4a) 是抛物线的最高点或最低点：a > 0 开口向上，顶点即最小值；a < 0 开口向下，顶点即最大值。判断根的范围与最值问题都要用到它。

为什么有的结果只显示小数？

当系数含小数（如 0.5x² + x + 0.5）时，精确根式形式读起来反而累赘，工具就给出小数近似。若想要精确形式，可以把系数同时乘以 10 的倍数化成整数再算。

输入的系数会被记录吗？

不会。系数只在浏览器里做四则运算与开方，不上传、不保存；计算历史仅存本机浏览器，可随时清空，无痕模式关闭即失效。

延伸阅读

来自本站原创文章，讲清这个工具背后的算法与口径。